Procesos de generalización

Internacionalmente, se reconocen cuatro acercamientos a la enseñanza del álgebra (Bednarz, Kieran y Lee, 1996): mediante la generalización de patrones numéricos y geométricos, las leyes que gobiernan las relaciones numéricas; mediante la modelización de situaciones matemáticas y situaciones concretas; mediante el estudio de situaciones funcionales, y a partir de la resolución de problemas y ecuaciones.

En el estudio que aquí se expone, se adopta la perspectiva del acercamiento mediante la generalización. Según Mason (1985), la generalización en álgebra es el punto de partida hacia la abstracción matemática y puede ser desarrollada a partir del trabajo con patrones o regularidades. Para aprender el lenguaje algebraico, es importante que el alumno tenga algo que comunicar; así, al percibir un patrón o una regularidad, puede intentar expresarlo y comunicárselo a alguien.

Para el referido autor, hay cuatro etapas para trabajar la generalidad en el salón  de clases:

 

a. Percibir un patrón

Se puede percibir un patrón a partir de la sucesión de figuras y, entonces, pueden surgir preguntas matemáticas, por ejemplo: ¿cuál sería una regla para reconocer el patrón? Se hace necesario el uso de técnicas matemáticas para generar los  números o patrones, vgr., recursividad, la inducción. Una de las ideas centrales es que un primer encuentro con el álgebra pueda ocurrir partiendo de la identificación y comunicación de patrones o de relaciones, las cuales se pueden establecer con ejemplos particulares, para que los niños perciban lo que es común en esas situaciones, y decir y registrar lo que percibieron.

b. Expresar un patrón

El siguiente paso es expresar cuál es el patrón. Es necesario decir y registrar

un patrón para que posteriormente se pueda reflexionar sobre él. Este tipo de actividad se puede facilitar mediante un trabajo colaborativo en el salón de clases, donde los estudiantes puedan trabajar en equipo y puedan comunicar sus resultados, preguntando y cambiando sus percepciones, hasta llegar a un acuerdo. Aquí el profesor actúa como un mediador de la actividad, haciendo preguntas que lleven a los estudiantes a reflexionar sobre sus propias ideas.

c. Registrar un patrón

Registrar un patrón hace posible la verificación de la regla. Esta actividad puede ser apoyada por dibujos o palabras, para posteriormente describir las variables clave de un problema.

d. Prueba de la validez de las fórmulas

Para que una fórmula tenga validez, se debe probar de diferentes formas; por ejemplo, mediante su aplicación en otros casos, se puede dar una respuesta por otros medios o haciendo cálculos, dibujando, contando o verificando su consistencia. Pero también es importante que la regla sea correcta y, para eso, se necesita tener una noción de lo general, lo cual involucra la idea de cómo un ejemplo particular puede mostrar lo general. Para mostrar lo general es necesario reestructurar el ejemplo particular y señalar características generales, lo cuál se logra observando características específicas en cada caso y haciendo notar que, a pesar de que cambien, lo hacen de forma regular.

 

El trabajo con patrones está recomendado también en los estándares curriculares y de evaluación por el National Council Teacher of Mathematics (ntcm, 1989), cuyo documento recomienda el uso de patrones desde muy temprana edad (lo equivalente a la enseñanza preescolar) extendible a los grados superiores. De acuerdo con este documento, el trabajo desarrollado en primaria, que equivale a los niveles 5-8, debe incluir la exploración de patrones y funciones para que los estudiantes sean capaces de: descubrir, extender, analizar y crear una amplia gama de patrones; describir y representar relaciones con tablas, gráficas y reglas; analizar relaciones funcionales para explicar cómo un cambio en una cantidad provoca un cambio en la otra; y usar patrones y funciones para representar y

resolver problemas. En el currículo mexicano, el contenido de patrones no aparece con un gran énfasis en la escuela primaria; sin embargo, sí hay una presencia extensa del  razonamiento proporcional; a partir de esto, se asignan significados de la comparación cuantitativa y cualitativa de cantidades; las ideas de variable y relación funcional aparecen en una etapa más avanzada, las cuales conducen a su vez a procesos de generalización.

De acuerdo con Pegg (1990), citado en Durán Ponce (1999), el descubrimiento de  patrones requiere el trabajo en tres procesos: experimentar actividades con patrones numéricos; expresar las reglas que caracterizan patrones numéricos particulares mediante oraciones, involucrando a los estudiantes en aclaraciones y precisiones, y propiciar que los estudiantes expresen dichas reglas de manera abreviada. Para Pegg, la parte más compleja de la introducción al álgebra requiere el trabajo con patrones numéricos hasta describir éstos utilizando la notación algebraica. Los estudios de Mac Gregor y Stacey (1993) con estudiantes australianos revelan que, cuando se trabaja con patrones numéricos, los niños muestran tener grandes dificultades para describir y expresar algebraicamente dichos patrones. Reggiane (1994) afirma que la generalización es un término utilizado en las matemáticas para indicar el paso de lo particular a lo general y para ver lo general en casos particulares.

Según la autora, lo que impera en la práctica didáctica es el aspecto puramente técnico, la capacidad operativa y una mala comprensión general del número; contrariamente —comenta— la base del pensamiento algebraico se consolida cuando se aprenden las propiedades de las operaciones entre números y empieza el trabajo con símbolos en diversos contextos (aritméticos, geométricos, procesamiento de datos), pero agrega que esto es un logro gradual. Otros autores han investigado la relación entre el lenguaje algebraico y el lenguaje de la programación, señalando la contribución de este último para llegar a un uso correcto de la variable. Otras investigaciones describen algunas  limitaciones en habilidades espontáneas para pasar de lo particular a lo general y recomiendan estimular a los niños con procedimientos guiados. En el estudio realizado por Ursini (1996) con niños entre 11 y 12 años de edad, cuyo objetivo era la comprensión de la generalidad, se les propuso una actividad con un procedimiento guiado paso por paso, que apuntaba a estimular la Zona de Desarrollo Próximo (zdp). La autora informa que se requirió una intervención extrema para lograr dicha estimulación.

Lee (2001), al concebir el pensamiento algebraico como una manera de pensar, propone estimular a los estudiantes para extender su pensamiento acerca de objetos matemáticos (números, formas y medidas) y las relaciones entre ellos, así como también darles la oportunidad para que operen mentalmente con números que conocen. De acuerdo con Castro, Rico y Castro (1995), se puede generalizar en problemas que involucren patrones de tipo lineal o cuadrático mediante expresiones algebraicas.

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